[게임수학] 2장 기하학적 기초 - 포물선

포물선

 

포물선을 위해서는 두가지 요소가 필요하다.

1. 꼭지점

- 굴곡의 정점 위치

2. 대칭축

- 꼭지점을 지나며 한쪽이 다른 한쪽을 반사한 모양이 되도록 하는 직선

 

 

포물선의 방정식

포물선의 방정식은 수직/수평 대칭축을 기준으로 두가지 형태를 가진다.

수직축을 가지는 포물선의 방정식
꼭지점 좌표 $(h, k)$, 대칭축 $x = h$인 포물선 방정식
$y = a(x - h)^2 + k$

수평축을 가지는 포물선의 방정식
꼭지점 좌표 $(h, k)$, 대칭축 $y = h$인 포물선 방정식
$x = a(y - k)^2 + h$

* Note *
두 공식 모두 정점 좌표는 동일한 표시를 가지지만 h와 k 위치만 바뀐다.
또한 수직/수평 모두 대칭축은 항상 꼭지점을 지닌다.

 

 

 

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개략적 포물선 형태

 

 

1. 방정식에 따른 포물선의 형태

포물선이 수직축 방정식을 가질때 위/아래쪽으로 열린 포물선이다.

포물선이 수평축 방정식을 가질때 왼/오른쪽으로 열린 포물선이다.

* 상하 형태는 x의 값을 대입해 y를 구하고, 좌우 형태는 y값에 대입해 x값을 구할 수 있다.

 

2. 방정식의 상수

a값이 양수면, 상하 형태에선 위쪽이 열리고 좌우 형태에선 오른쪽이 열린 모양이 된다.

또한, a가 0에 가까울수록 포물선이 더 넓게 퍼진다.

 

 

 

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예제 2.7 : 다른 형태의 포물선 그리기
포물선 $x = y^2 + 5$의 개략적 모양을 그리시오.

일단 방정식 자체는 수평축 방정식( $x = a(y - k)^2 + h$ )이다.

방정식에서 제거된 부분을 모두 자연수로 채워 넣는다면 다음과 같다.

$x = 1(y - 0)^2 + 5$

즉, (h, k)는 (5, 0)가 꼭지점인 포물선이다.

 

 

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스스로 평가하기

 

다음 포물선의 꼭지점을 구하십시오.
1. $y = 10(x - 4)^2 + 7$
2. $x = -2(y - 5)^2 + 1$
3. $y = (x + 3)^2 + 2$
4. $x = -3y^2 - 12$
5. $y = (x + 1)^2$

1. 수직축 : (4, 7)

2. 수평축 : (1, 5)

3. 수직축 : (-3, 2)

4. 수평축 : (-12, 0)

5. 수직축 : (-1, 0)

다음 포물선의 개략적 형태를 그리시오.
6. $y = 10(x - 1)^2 + 3$
7. $x = y^2 - 2$

6. 수직축 - a가 양수이기에 위로 열려있다. 꼭지점은 (1, 3)좌표이다.

7. 수평축 - a가 양수이기에 오른쪽으로 열려있다. 꼭지점은 (-2, 0)좌표이다.